Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit  $f$ une fonction définie sur un intervalle  $I$ et  $a$ et  $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$ .
Si $f$  est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ alors, pour tout réel $k$  compris entre  $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un unique réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$ .
Autrement dit, l’équation $f(x)=k$  admet une unique solution sur l'intervalle $[a;b]$ .

Démonstration

Soit  $f$  une fonction définie sur un intervalle  $I$  et  $a$ et  $b$ deux réels de $I$ tels que $a<b$ .
L’existence d’un réel  $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$  est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires.

On démontre par l'absurde. On suppose qu'il existe deux réels distincts  $c_1$ et  $c_2$ tels que $f(c_1)=f(c_2)=k$ . Quitte à renuméroter les indices, on suppose que $c_1<c_2$ .

• Si  $f$ est strictement croissante sur $[a;b]$ , alors $f(c_1)<f(c_2)$ , ce qui est absurde puisque  $f(c_1)=f(c_2)=k$ .
  
• Si $f$ est strictement décroissante   sur $[a;b]$ , alors $f(c_1)>f(c_2)$ , ce qui est absurde puisque $f(c_1)=f(c_2)=k$ .
  

Ainsi, $c_1=c_2$ .

Remarques

• On admet que, par convention, les flèches d’un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie des fonctions.
• Ce corollaire est encore valable sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, mais il faut alors remplacer les valeurs des images par les valeurs des limites de $f$   aux bornes de l'intervalle.