Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit  `f` une fonction définie sur un intervalle  `I` et  `a` et  `b` deux réels de `I` tels que `a < b` .
Si `f`  est continue et strictement monotone sur `[a\ ;\ b]` alors, pour tout réel `k`  compris entre  \(f(a)\) et \(f(b)\) , il existe un unique réel \(c \in [a\ ;\ b]\) tel que \(f(c) = k\) .
Autrement dit, l’équation \(f(x) = k\)  admet une unique solution sur l'intervalle \([a\ ;\ b]\) .

Démonstration

Soit  `f`  une fonction définie sur un intervalle  `I`  et  `a` et  `b` deux réels de `I` tels que `a < b` .
L’existence d’un réel  \(c \in [a\ ;\ b]\) tel que \(f(c) = k\)  est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires.

On démontre par l'absurde. On suppose qu'il existe deux réels distincts  \(c_1\) et  \(c_2\) tels que \(f(c_1) = f(c_2) = k\) . Quitte à renuméroter les indices, on suppose que \(c_1 < c_2\) .

• Si  \(f\) est strictement croissante sur \([a\ ;\ b]\) , alors \(f(c_1) < f(c_2)\) , ce qui est absurde puisque  \(f(c_1) = f(c_2) = k\) .
  
• Si `f` est strictement décroissante   sur \([a\ ;\ b]\) , alors \(f(c_1) > f(c_2)\) , ce qui est absurde puisque \(f(c_1) = f(c_2) = k\) .
  

Ainsi, \(c_1=c_2\) .

Remarques

• On admet que, par convention, les flèches d’un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie des fonctions.
• Ce corollaire est encore valable sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, mais il faut alors remplacer les valeurs des images par les valeurs des limites de `f`   aux bornes de l'intervalle.